Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

By Jean-Jacques Risler

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Réciproquement l’existence d’un tel morphisme implique N ⊂ kerφ. De plus le morphisme φ est injectif si et seulement si N = ker φ. 19. On utilise cette proposition de la manière suivante : pour définir un morphisme φ : M/N −→ M1 , il est équivalent de définir un morphisme φ : M −→ M 1 tel que N ⊂ ker φ. 5. « Décomposition canonique d’un morphisme ». Soient M et M1 deux A-modules, φ : M → M1 un morphisme, π : M → M/ ker φ le morphisme canonique. On a alors une décomposition de φ dite « décomposition canonique » : φ = i ◦ φ ◦ π où i est l’injection canonique : φ(M ) = Im(M ) → M 1 , et φ un isomorphisme : M/ ker φ → φ(M ).

9. Soit I un idéal de A. Le A-module quotient A/I est alors naturellement muni d’une structure d’anneau propagée par celle de A via le morphisme canonique π : A → A/I : si x, y ∈ A/I , il existe a et b dans A tels que π(a) = x, π(b) = y . On pose alors xy = π(ab), et il est immédiat de voir que cette multiplication est bien définie et fait de A/I un anneau avec unité π(1) (que l’on note aussi 1 en général). 2 CALCUL MATRICIEL SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Dans toute la suite de ce chapitre, A désignera un anneau euclidien pour lequel il existe un algorithme pour la division euclidienne.

D’autre part, certaines démonstrations sont présentées dans ce livre sous forme d’algorithmes utilisant l’algorithme d’Euclide et l’algorithme d’Euclide « étendu » (et donc l’algorithme de division). e. programmables), il faut se placer sur un anneau A dans lequel il existe un algorithme pour la division euclidienne, ce qui est le cas de A = K[X], à condition que l’on sache programmer les additions et multiplications dans K comme par exemple pour K = Q. 1 LE LANGAGE DES MODULES Pour cette introduction, A est un anneau (donc pour nous commutatif et unitaire) quelconque dont l’élément unité pour la multiplication est noté 1.

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