Analysis 1 by Forster O.

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Dann heißt die Folge (ank )k∈N = (an0 , an1 , an2 , . ) Teilfolge der Folge (an ). Es folgt unmittelbar aus der Definition: Ist (an )n∈N eine konvergente Folge mit dem Limes a, so konvergiert auch jede Teilfolge gegen a. Schwieriger ist das Problem, aus nicht-konvergenten Folgen konvergente Teilfolgen zu konstruieren. Die wichtigste Aussage in dieser Richtung ist der folgende Satz. Satz 6 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschr¨ankte Folge (an )n∈N reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis.

Aus Satz 5 folgt insbesondere, dass sich jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren l¨asst, denn die Partialsummen eines b-adischen Bruches sind rational. Beweis. Es gen¨ugt, den Satz f¨ur reelle Zahlen x 0 zu beweisen. Nach §3, Satz 3, gibt es mindestens eine nat¨urliche Zahl m mit x < bm+1 . Sei k die kleinste § 5 Das Vollst¨andigkeits-Axiom 48 nat¨urliche Zahl, so dass 0 x < bk+1 . Wir konstruieren jetzt durch vollst¨andige Induktion eine Folge (aν )ν licher Zahlen 0 aν < b, so dass f¨ur alle n −k gilt x= n ∑ ν=−k aν b−ν + ξn −k nat¨ur- ξn < b−n .

4. Man bestimme die 64-Bit-IEEE-Darstellung der Zahlen zn := 10n f¨ur n = 2, 1, 0, −1, −2. 5. Es sei Q64 ⊂ R die Menge aller durch den 64-Bit-IEEE-Standard exakt dargestellten reellen Zahlen (diese sind nat¨urlich alle rational) und R64 das Intervall R64 := {x ∈ R : |x| < 21024 }. Eine Abbildung ρ : R64 −→ Q64 werde wie folgt definiert: F¨ur x ∈ R64 sei ρ(x) die Zahl aus Q64 , die von x den kleinsten Abstand hat. Falls zwei Elemente aus Q64 von x denselben Abstand haben, werde dasjenige gew¨ahlt, in deren IEEE-Darstellung das Bit a52 = 0 ist.

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