Analysis 3: Integralrechnung im IRn mit Anwendungen by Otto Forster

By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IR^n mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik proper sind. Der textual content wurde für die 6. Auflage grundlegend überarbeitet und die Integrationstheorie wird nun auf maßtheoretischer Grundlage aufgebaut.

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Satz 1 (Dini). Auf einer kompakten Menge K C IR n seien f: K -'> IR und fv: K -'> IR, v E N, stetige Funktionen mit fo ~fl ~ ... ~fv ~fv + 1 ~ ... im fv (x) v --+ 00 = fex) für alle xE K. Dann konvergiert die Folge (f"),, E IN auf K gleichmäßig gegen f. Beweis. im gv (x) 1 ~ " --+ 00 = 0 für alle xE K. Sei E > 0 vor- gegeben. Zu jedem xE K existiert dann ein N(x), so daß Da die Funktion gN (x) im Punkt x stetig ist, existiert ein 0 (x) IgN(x) m-gN(x) (x) I < 2 E fur alle ~ E K mit II~ - xII< 0 (x).

Abgeschlossen) ist. } definiert durch f(x) := sup {fj(x): i EI} fiir alle xE JRn. Die obere Einhüllende von zwei (und damit endlich vielen) stetigen Funktionen /;: JRn ~ lR ist wieder stetig. B. 1 (fl + f2 + Ifl - f2 1). Dagegen ist die obere Einhüllende einer unendlichen Familie von stetigen Funktionen im allgemeinen nicht mehr stetig, sondern nur mehr halb stetig von unten. Dies ist ein Spezialfall des folgenden Hilfssatzes. Hilfssatz 2. Sei fj: JRn ~ JR U Cool, iEI, eine Familie von unten halbstetiger Funktionen Dann ist auch ihre obere Einhüllende f : = sup /; von unten halbstetig.

Sei fE Jf"t (]Rn) (bzw. fE J'f~ (]Rn)) und seien A E CL (n,]R), bE]Rn. Dann gehört die Funktion x ~ f(Ax + b) ebenfalls zu J'ft (]Rn) (bzw. J'f~ (]Rn)) und es gilt f f(Ax + b)dx = Ide;AI f f(x)dx. Satz 5 (Fubini). Sei 1 ~ k < n und fE J'ft (]Rn). Dann gehört für jedes feste (Xk+ 1, ... ,xn)E]Rn-k die Funktion (XI> ... ,Xk) >-+ f(xl> "',Xk, Xk + 1, ... ,xn) zu J'ft (lRk ), das Integral F(Xk+ 1, ... ,xn ):= S f(XI, ""Xk,Xk+ 1, ... ,xn)dx l ... dxk ~k ist also definiert. Die Funktion F gehört zu J'ft (lR n - k) und es gilt f ~n- k F(Xk + b ...

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