Arbeiten zur Analysis und zur mathematischen Logik by G. Peano (auth.)

By G. Peano (auth.)

Dieser Band enthält fotomechanische Nachdrucke klassischer Arbeiten von Giuseppe Peano zur research und zur mathematischen Logik aus den Jahren 1886 bis 1899, denen für die Herausbildung der gegenwärtigen Mathematik große Bedeutung zukommt. Im Nachwort berichtet der Herausgeber über die Entstehungsgeschichte der abgedruckten Arbeiten, über deren Stellung im Gesamtwerk Peanos und über ihre Verflechtung mit der Entwicklung der Mathematik um die Jahrhundertwende. Fotos und Archivalien komplettieren das Buch. Aus den Besprechungen: "Die mathematische Behandlung der Grundlagen der Mathematik ... ist aus der Verbindung zweier verschiedener Forschungsrichtungen ... hervorgegangen. Einerseits das Werk der Meister der research und der Geometrie, sofern sie ihre Axiome formulierten und systematisierten, und das Werk von Cantor und anderen über Gebiete wie die Mengentheorie. Andererseits die symbolische Logik, die nach der notwendigen Entwicklungsperiode jetzt dank Peano und seinen Nachfolgern die technische Verwendbarkeit und logische Bündigkeit erreicht hat, die wesentlich sind für ein mathematisches Hilfsmittel zur Behandlung dessen, was once bisher die Grundlagen der Mathematik gebildet hat." A.N. Whitehead, B. Russell#1

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16. Es sei u ein System komplexer Zahlen von der Ordnung n, und (ein qmfu, d. h. (x) ein Komplex von der Ordnung m, welcher eine Funktion des Komplexes x ist, die fur aile Werte von x in dem System u definiert ist. Es sei ferner Xo ein Punkt des derivierten Komplexes von u, d. h. ein Punkt, der dem u entweder angehOrt oder nicht, jedenfalls aber derart ist, dars in jeder seiner Umgebungen unendlich viele Punkte von u existieren. " u, "'0 (x) oder mit Lim f(;c). Es sei a ein qm. Wenn man sagt, a sei ein Grenzpunkt von (x) (ur ein x, welches, in u variierend, gegen Xo konvergieri, so hei(st dies: Sind h und k beUebig gewahlte positive Zahlen und durchlauft x aUe Punkte der Klasse u, die von Xo verschieden und von diesem weniger als h entfernt sind, so giebt es unter den zugehlJrigen Werten (x) immer solche, fUr welche m[f(x) - a] kist.

H. mit dem Wert der f(x) ffir x = Xo niehts zu thun hat; denn die Grenze von f(x) hiingt nur von den Werten der Funktion (x) in den Umgebungen von Xo ab; der Variabelen x wird aber niemals der Wert Xo beigelegt. 0h)] d. h. f(x) bestehen, welcher der Punkt (x o) hinzugefugt ist. - u. Integral-Rechnung, 59 25 Anhang V. Die kOIDp,lexen Zahlen. 386 Unter den Gren~werten einer Funktion f(x) kann auch das U nendlichgrofse auftreten: 00 (3) eLim"" u, "'. f( x) . = heQ. Ok. I'mf[ul'\(xo : + iii0h)] = 00.

M(x + y) < mx + my. Denn es ist, wie man aus der Algebra weifs, (Xli + + ... + xn + Yi + ... + 'lin') ~ (XIYI + x Ys + .. ~ + XnYn)l; i ) (Yl i XiI 2 2 zieht man nun die Quadratwurzeln aus, so erhl1lt man + + ... + mod X mod Y > XIYI xlYs xnYn und, wenn man mit 2 multipliziert und den Ausdruck + (mx)1 (my)S addiert: (mx == (XII + XII + ... + Xnl) + (YI B+ YI I + ... ,l) + my)1 ~ (Xl + YI)2 + (Xli + Y2)2 + ... + (Xn + Yn)'. Nimmt man schliefslich auf beiden Seiten die erhILlt man die Formel, die zu beweisen war.

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