Lectures on minimal surfaces in R3 by Yi Fang

By Yi Fang

The idea of minimum submanifolds is an engaging box in differential geometry. the best, one-dimensional minimum submanifold, the geodesic, has been studied really exhaustively, but there are nonetheless loads of attention-grabbing open difficulties. quite often, minimum submanifold idea deeply consists of just about all significant branches of arithmetic; research, algebraic and differential topology, geometric degree idea, calculus of adaptations and partial differential equations, to call quite a few of them.

In those lecture notes our objective is kind of modest. We speak about minimum surfaces in R3 and focus on the category of the embedded entire minimum surfaces of finite topological kind.

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16. Es sei u ein System komplexer Zahlen von der Ordnung n, und (ein qmfu, d. h. (x) ein Komplex von der Ordnung m, welcher eine Funktion des Komplexes x ist, die fur aile Werte von x in dem System u definiert ist. Es sei ferner Xo ein Punkt des derivierten Komplexes von u, d. h. ein Punkt, der dem u entweder angehOrt oder nicht, jedenfalls aber derart ist, dars in jeder seiner Umgebungen unendlich viele Punkte von u existieren. " u, "'0 (x) oder mit Lim f(;c). Es sei a ein qm. Wenn man sagt, a sei ein Grenzpunkt von (x) (ur ein x, welches, in u variierend, gegen Xo konvergieri, so hei(st dies: Sind h und k beUebig gewahlte positive Zahlen und durchlauft x aUe Punkte der Klasse u, die von Xo verschieden und von diesem weniger als h entfernt sind, so giebt es unter den zugehlJrigen Werten (x) immer solche, fUr welche m[f(x) - a] kist.

H. mit dem Wert der f(x) ffir x = Xo niehts zu thun hat; denn die Grenze von f(x) hiingt nur von den Werten der Funktion (x) in den Umgebungen von Xo ab; der Variabelen x wird aber niemals der Wert Xo beigelegt. 0h)] d. h. f(x) bestehen, welcher der Punkt (x o) hinzugefugt ist. - u. Integral-Rechnung, 59 25 Anhang V. Die kOIDp,lexen Zahlen. 386 Unter den Gren~werten einer Funktion f(x) kann auch das U nendlichgrofse auftreten: 00 (3) eLim"" u, "'. f( x) . = heQ. Ok. I'mf[ul'\(xo : + iii0h)] = 00.

M(x + y) < mx + my. Denn es ist, wie man aus der Algebra weifs, (Xli + + ... + xn + Yi + ... + 'lin') ~ (XIYI + x Ys + .. ~ + XnYn)l; i ) (Yl i XiI 2 2 zieht man nun die Quadratwurzeln aus, so erhl1lt man + + ... + mod X mod Y > XIYI xlYs xnYn und, wenn man mit 2 multipliziert und den Ausdruck + (mx)1 (my)S addiert: (mx == (XII + XII + ... + Xnl) + (YI B+ YI I + ... ,l) + my)1 ~ (Xl + YI)2 + (Xli + Y2)2 + ... + (Xn + Yn)'. Nimmt man schliefslich auf beiden Seiten die erhILlt man die Formel, die zu beweisen war.

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